Cautis Blog – 24 light years away

Was waren gleich Primzahlen?
Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, sie sind also immer durch 1 und sich selbst teilbar.

Und was ist daran so besonders?
Das besondere daran ist, dass man die Primzahlen nicht weiter zerlegen kann, während man alle anderen Zahlen – die die nämlich mehr als zwei Teiler besitzen – in ihre „Einzelteile“ zerlegen kann. Und diese „Einzelteile“ sind nämlich die Primzahlen.
Die Primzahlen sind also eine Art Gerüst der natürlichen Zahlen. Oder die Atome der natürlichen Zahlen – wie ein Physiker sagen würde. Aus ihnen kann man alle anderen natürlichen Zahlen aufbauen. So ist zum Beispiel 10 = 2 * 5. Die Primzahlen 2 und 5 bilden die 10, die also keine Primzahl ist.
Dies ist auch genau der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich in eindeutig mit seiner Primfaktorzerlegung darstellen.

Wie lauten also die ersten Primzahlen?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,…

Und warum ist 1 jetzt keine Primzahl?
Die 1 besitzt nur einen Teiler, erfüllt das Primzahlkriterium also nicht. Natürlich könnte diese Definition ganz einfach angepasst werden, aber die Mathematiker wollen gar nicht, dass 1 eine Primzahl ist. Wäre dem so, dann wäre die Primfaktorzerlegung einer Zahl nicht mehr eindeutig, man könnte ja noch unendlich viele 1en multiplizieren (das ändert ja nichts am Ergebnis). Also ist die 1 keine Primzahl, und jede Zahl besitzt somit eine eindeutige Primfaktorzerlegung (also eine Zerlegung in seine „Atome“).

Wie viele solcher Primzahlen gibt es denn?
Schon der Grieche Euklid hat vor ca. 2400 Jahren bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Primzahlen ziehen sich also wie ein Gerüst durch die Menge der natürlichen Zahlen.
Es gibt also unendlich viele Primzahlen. Aber es gibt auch unendlich viele natürliche Zahlen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es von beiden gleich viele gibt. Klingt paradox, ist aber so.

Hä?
Unendlichkeit ist ein schwieriges Thema. Später!

Ja aber wie is das nun? Wo ist jetzt deren Geheimnis?
Deren Geheimnis steckt in ihrer Verteilung.
Im Alter von 15 Jahren untersuchte Karl-Friedrich Gauß (der Mann auf dem Zehn-Mark-Schein) wie sich die Primzahlen denn verteilen. Und er entdeckte etwas, das vor ihm noch niemand wusste. Er untersuchte die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und 10 und fand 4 an der Zahl. Danach suchte er zwischen 1 und 100 und fand 25 Primzahlen. Zwischen 1 und 1000 zählte er 168. Führt man dies so weiter, kann man sagen, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner gleich einer natürlichen Zahl x sind, in etwa der Größe x/ln(x) entspricht.
Das nennt man Primzahlsatz und der junge Gauß hatte etwas entdeckt, was erst etwa 100 Jahre später bewiesen werden konnte.
Die Primzahlen werden „nach oben hin“ also immer weniger. Die Primzahldichte nimmt gegen unendlich ab.

Und wie finde ich nun große Primzahlen?
Genau das ist das Problem. Seit nun mehr als 2000 Jahren suchen Mathematiker nach einer Formel, die aus einer gegebenen Primzahl die nächste berechnet. Eine Formel die alle Primzahlen generieren kann. Doch bis heute wurde keine gefunden.
Während einige weitersuchen, sind andere der Meinung, dass es so eine Formel nicht gibt.
Die Suche nach einer solchen Vorschrift gehört zu den bedeutensden Problem der Mathematik.
Eine Möglichkeit eine Primzahl zu finden, ist, zu testen, wie viele Teiler sie besitzt. Das sollte für große Zahlen allerdings ein Computer machen, denn da sitzt man eine Weile. (Dies gibt es auch als so genannten Benchmark um die Systemstabilität eines Computer zu testen.)
Oder man führt einen Monte-Carlo-Test durch. Der findet eine Zahl, die dann mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Primzahl darstellt. Aber da kann man auch gleich nach Monte-Carlo fahren und sein Glück im Casino selbst versuchen.

Reicht es nicht einfach mal scharf hinzusehen?
Sieht man scharf hin, fallen seltsame Sachen auf. Zum einen gibt es, bereits bei kleineren natürlichen Zahlen, streckenweise wenig Primzahlen, während anderswo so genannte Primzahlzwillinge auftauchen. So nennt man Primzahlen, zwischen denen nur eine zusammengesetzte Zahl liegt. so wie 29 und 31.Eine kleine Lücke wäre dagegen zwischen 31 und 37, während 41 und 43 wieder Primzahlzwillinge darstellen.Allein durch hinsehen wird also schon deutlich, dass dies gar nicht so einfach ist. Und das bestätigt ja auch die Geschichte.

Wenn es schwer ist große Primzahlen zu finden, gibt es eine größte bekannte?
Die bisher größte bekannte stammt aus 2008 und lautet 2^43112609-1. Diese Zahl auszuschreiben würde hier den Browser sprengen, denn sie besitzt 12978189 Dezimalziffern.

Was hat das ganze jetzt mit mir zu tun?
Für den Mathematiker ist es natürlich sehr ärgerlich, dass die Primzahlen ihr Geheimnis bewahren. Der Ottonormal-Internet-Gebraucher darf sich allerdings freuen. Die Internetsicherheit beruht auf guten Verschlüsselungsverfahren (dank an die Kryptographie), und diese benutzen gern mal Primzahlen.
Das so genannte RSA-Verfahren – das sicherste Kryptoverfahren im Internet – benutzt als Schlüssel eine riesige Zahl. Standart sind 256 oder 512 Bit, das entspricht einer Zahl mit mehr als hundert Dezimalziffern. Dieser Schlüssel ist aus zwei Primzahlen zusammengesetzt. Findet man die beiden Primzahlen, die den Schlüssel ergeben, kann das Verfahren geknackt werden. Obwohl der Angreifer hier schon weiß, dass bloß zwei Primzahlen gesucht werden, ist dies ein schwieriges Unterfangen. Es ist nämlich nicht viel leichter eine genügend große Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, als eine große Zahl zu testen, ob sie nur einen Primfaktor besitzt.
Dadurch wird RSA sicher. ein 512-bit Schlüssel wurde zwar schon geknackt, aber das hat ganze 3 Tage gedauert. Größere Schlüssel sind bisher ungeknackt. Das Millitär benutzt mittlerweile 2048-bit Schlüssel.
RSA ist also sicher – zumindest so lange, wie die Primzahlen ihr Geheimnis bewahren.

Interessant. Aber gibt es denn Ansätze auf eine Vorschrift?
Vielleicht. Da gibt es die sogenannte Riemann`sche Vermutung. Der Herr Riemann war ein ganz schlauer Mensch und hat unter anderem die Riemann`sche Zetafunktion untersucht (die war damals natürlich noch nicht nach ihm benannt). Diese Zetafunktion sieht in der komplexen Zahlenebene abgebildet auch recht schön aus, wie unten zu sehen ist. Eigentlich gibt es unendlich viele dieser Funktionen, und Riemann hat ihr Verhalten unteruscht. Eine der einfachsten seiner Zetafunktionen lautet: 1 + (1/4) + (1/9) + (1/16) + (1/25) + (1/36) + …  Also immer das Reziproke der Quadratzahlen summieren. Der Herr Riemann hat herausgefunden, dass dies, wenn ich das unendlich fortsetze, keineswegs unendlich ergibt. Nein, das Ergebnis lautet Pi²/6 (mit Pi ist hier die Kreiszahl gemeint).
Da haben alle gestaunt. Wie er das gemacht hat.
Aber egal. Er hat noch mehr davon gefunden. Und er hat auch die Nullstellen seiner Funktion unteruscht. Die Vermutung, die er über die Nullstellen aufgestellt hat, ist etwas zu kompliziert, und sie konnte bisher ohnehin noch nicht bewiesen werden, doch viele Vermuten, dass mit dem kompletten Verstehen dieser Funktion noch eine Menge in der Mathematik erreichbar wäre. Sie könnte durchaus angeben, wie die Primzahlen verteilt sind, oder auch aussagen, über welche Energien schwere Atome verfügen könnten.

Zetafunktion in der komplexen Zahlenebene